“........”

“根据 poincar′e对偶定理：hom(h2(n?j)(x?k k， q`)(n? j)， q`)～= h2j (x?k k， q`)(j)......“

.......

时间一点一点的在他的笔下流逝，徐川全神贯注的将自己投入到了最后的突破上。

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最终，他手中的笔锋蓦然一转。

“.....基于映射 tr、限制映射和 poincar′e，对偶定理都与 gal(k/k)的作用相容，所以 gal(k/k)在 y定义的上同调类上的作用也平凡。则 aj (x)是 h2j (x?k k， q`)(j)中由 x的余维数为 j的定义在 k上的闭子代数簇的上同调类生成的 q向量空间.......”

“当 i≤n/2时， ai (x)n ker(l?n?2i+1)上的二次型x→(?1)il?r?2i(x.x)是正定的。“

“由此，可得，在非奇异复射影代数簇上，任一霍奇类均是代数闭链类的有理线性组合。”

“即，霍奇猜想成立！”

手中圆珠笔在洁白的稿纸上点下最后一个圆点，徐川长舒了一口气，将手中的圆珠笔丢到了一旁，身子往后一躺，靠在了椅背上盯着天花板愣愣的发呆。

当最后一个字符在稿纸上落下的时候，他心里涌出的并不是兴奋，不是高兴，也不是满足感和成就感。

而是带着一些不可置信的迷茫。

耗去长达四个多月的时间，从米尔扎哈尼教授遗留给他的手稿开始，到‘微分代数簇的不可缩分解’问题的解决，再到代数簇与群映射工具的完善，到最后的霍奇猜想的解决。

在这条路上，他经历了太多。

盯着天花板良久，徐川终于回过神来，目光落在了身前书桌上的稿纸上。

将所有的稿纸完整的过了一遍，确定这真的是自己的做出来的成果后，他脸上终于露出了璀璨的笑容，明朗如窗外透进来的阳光。

如果没有意外的话，他，成功了。

成功解决掉了霍奇猜想这个世纪难题。

这是自1924年数学家来夫谢茨对于(1，1)类的霍奇猜想证明后，和霍奇猜想相关的问题最重要的突破。

尽管他现在还不知道它是否能经得起其他数学家和时间的考验。

但无论如何，他在数学上再次踏出了一大步。

.......

完成证明霍奇猜想的论文之后，徐川又花费了一些时间，将稿纸上的这些东西再度过了一遍，并完善了一些其他的细节。

处理完成这些后，他开始动手将其整理到笔记本中。

而后准备公开。

对于任何一个数学猜想的证明来说，证明者是没有资格给予它是否正确的评价的。

唯有全面公开，且经历同行评审与时间的考验，才能确定它是否真的已经成功。

花费了整整一周的时间，徐川总算是将手中近百页的稿纸全部输入了电脑中。

这上百页的证明，其中有超过三分之一以上的篇幅，是针对解决霍奇猜想的代数簇与群映射工具的解释与论证，还有三分之一的篇幅，是针对霍奇猜想与代数簇与群映射工具搭建的理论框架。

剩下的，才是霍奇猜想的证明过程。

对于这篇论文而言，工具与框架，才是它的核心基础。

如果他愿意，完全可以将工具和理论框架单独拆分出来作为独立的论文进行发表。

就如同彼得·舒尔茨的‘p进类完美空间理论’一样。

这些东西，如果最终被数学界接受，足够他拿到一次菲尔兹奖的。

这并非是菲尔兹奖的廉价，而是数学工具对于数学的重要性。

一项出色的数学工具，能解决的可不仅仅是一个问题。

就像一把斧头一样，它不仅仅能用以砍伐树木，也可以用做木工的工具，加工物品，还可以用作武器，进行厮杀。

同理，他构设的代数簇与群映射工具，也不仅限于与霍奇猜想。

不少代数簇与微分形式以及多项式方程，甚至是代数拓扑方向的难题，它都可以用来进行尝试。

比如和霍奇猜想同属于一类猜想家族的‘布洛赫猜想’、‘代数曲面的霍奇理论应该确定零循环的chow群是否是有限维的’问题、还有有限系数的某些动机上同调群同构映射到 etale上同调问题猜等等。